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这篇论文的主要工作是通过构建对偶图Dual Graph的方式将原图的边转换成对偶图中的节点，从而获得edge feature。

什么是对偶图？

原文中给出了这样的解释：

Let $\mathcal{G}=(\mathcal{V},\mathcal{E})$be a given directed graph, to which we refer as the primal graph. The dual (also known in graph theory as the line (di)graph or adjoint graph) of $\mathcal{G}$, denoted by $\tilde{\mathcal{G}}=(\tilde{\mathcal{V}}=\mathcal{E},\tilde{\mathcal{E}})$, is constructed as follows : each dual vertex$(i,j)\in \tilde{\mathcal{V}}$ corresponds to a primal edge $(i,j)\in \tilde{\mathcal{E}}$, two dual vertices$(i,j),\left(i^{\prime },j^{\prime }\right)\in \tilde{\mathcal{V}}$ are connected by an edge in $\tilde{\mathcal{G}}$ if they share direction and at least an endpoint in $\mathcal{G}$.

简单地说，就是将原图中的边映射为对偶图中的节点，论文中使用了一张图来说明这个过程

左侧是原图，右侧是对偶图中对于(0, 2)的ego graph。对偶图中的(0,3)节点表示它是原图中的0号节点与3号节点之间的边。因为(0,3)与(0,2)都与0号节点相连，所以(0,3)与(0,2)之间存在一条边。

模型部分

对偶图上的卷积

$F$是一个$n\times q$的矩阵，表示原图上所有节点的feature。$\tilde{F}$是一个$\tilde{n}\times 2q$的矩阵，表示对偶图上所有节点的feature。对偶图中的节点(i, j)可由原图中的节点i和j的feature直接拼接得到，即${\tilde{\mathbf{f}}}_{ij}=[{\mathbf{f}}_i,{\mathbf{f}}_j]$。

在对偶图上直接套用GAT：

输出是一个$\tilde{q}$维的向量${\tilde{\mathbf{f}}}_{ij}^{\prime }$。这一步在对偶图上聚合节点(i,j)的一阶邻居信息，其实就是通过聚合原图上所有与i和j相连的边来更新边(i,j)。

原图上的卷积

在对偶图上获得原图上所有边的feature后，再次套用GAT：

只不过在计算${\alpha }_{ij}$时可以直接通过边上的feature得到。

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